Tunjukkan bahwa 1 pangkat 2001 + 2 pangkat 2001 + 3 pangkat 2001+ … + 2001 pangkat 2001 adalah

Pertanyaan:

Tunjukkan bahwa 1 pangkat 2001 + 2 pangkat 2001 + 3 pangkat 2001+ … + 2001 pangkat 2001 adalah kelipatan 13.

Pembuktian Langkah 1: Mengelompokkan Suku-suku Suku-suku dalam deret tersebut dikelompokkan menjadi pasangan-pasangan. Deret tersebut adalah S = 1 2001 + 2 2001 + … + 2001 2001 cap S equals 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent S = 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 2 0 0 1 2 0 0 1 . Deret ini memiliki 2001 2001 2 0 0 1 suku. Suku-suku tersebut dapat dikelompokkan menjadi 1000 1000 1 0 0 0 pasangan dan satu suku yang tersisa. Pasangan-pasangan tersebut adalah ( 1 2001 + 2000 2001 ) open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2000 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren ( 1 2 0 0 1 + 2 0 0 0 2 0 0 1 ) , ( 2 2001 + 1999 2001 ) open paren 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 1999 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren ( 2 2 0 0 1 + 1 9 9 9 2 0 0 1 ) , dan seterusnya, hingga ( 1000 2001 + 1001 2001 ) open paren 1000 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 1001 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren ( 1 0 0 0 2 0 0 1 + 1 0 0 1 2 0 0 1 ) . Suku yang tersisa adalah 2001 2001 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent 2 0 0 1 2 0 0 1 . Langkah 2: Menerapkan Teorema Fermat Kecil Menurut Teorema Fermat Kecil, jika p p p adalah bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a a a , a p ≡ a ( mod p ) a raised to the exponent p end-exponent triple bar a space open paren mod p close paren a p ≡ a ( m o d p ) . Dalam kasus ini, p = 13 p equals 13 p = 1 3 . Oleh karena itu, a 13 ≡ a ( mod 13 ) a raised to the exponent 13 end-exponent triple bar a space open paren mod 13 close paren a 1 3 ≡ a ( m o d 1 3 ) . Langkah 3: Menggunakan Sifat Kongruensi Sifat kongruensi ( a + b ) n ≡ a n + b n ( mod p ) open paren a plus b close paren raised to the exponent n end-exponent triple bar a raised to the exponent n end-exponent plus b raised to the exponent n end-exponent space open paren mod p close paren ( a + b ) n ≡ a n + b n ( m o d p ) tidak selalu berlaku. Namun, sifat a n + b n a raised to the exponent n end-exponent plus b raised to the exponent n end-exponent a n + b n dapat difaktorkan jika n n n adalah bilangan ganjil. Karena 2001 2001 2 0 0 1 adalah bilangan ganjil, maka a 2001 + b 2001 a raised to the exponent 2001 end-exponent plus b raised to the exponent 2001 end-exponent a 2 0 0 1 + b 2 0 0 1 dapat difaktorkan menjadi ( a + b ) ( a 2000 − a 1999 b + … + b 2000 ) open paren a plus b close paren open paren a raised to the exponent 2000 end-exponent minus a raised to the exponent 1999 end-exponent b plus … plus b raised to the exponent 2000 end-exponent close paren ( a + b ) ( a 2 0 0 0 − a 1 9 9 9 b + … + b 2 0 0 0 ) . Langkah 4: Menganalisis Setiap Pasangan Setiap pasangan suku memiliki bentuk a 2001 + ( 2001 − a ) 2001 a raised to the exponent 2001 end-exponent plus open paren 2001 minus a close paren raised to the exponent 2001 end-exponent a 2 0 0 1 + ( 2 0 0 1 − a ) 2 0 0 1 . Karena 2001 2001 2 0 0 1 adalah bilangan ganjil, maka a 2001 + ( 2001 − a ) 2001 a raised to the exponent 2001 end-exponent plus open paren 2001 minus a close paren raised to the exponent 2001 end-exponent a 2 0 0 1 + ( 2 0 0 1 − a ) 2 0 0 1 habis dibagi oleh a + ( 2001 − a ) = 2001 a plus open paren 2001 minus a close paren equals 2001 a + ( 2 0 0 1 − a ) = 2 0 0 1 . Karena 2001 = 13 × 153 + 12 2001 equals 13 cross 153 plus 12 2 0 0 1 = 1 3 × 1 5 3 + 1 2 , maka 2001 ≡ 12 ( mod 13 ) 2001 triple bar 12 space open paren mod 13 close paren 2 0 0 1 ≡ 1 2 ( m o d 1 3 ) . Langkah 5: Menganalisis Suku yang Tersisa Suku yang tersisa adalah 2001 2001 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent 2 0 0 1 2 0 0 1 . Karena 2001 ≡ 12 ( mod 13 ) 2001 triple bar 12 space open paren mod 13 close paren 2 0 0 1 ≡ 1 2 ( m o d 1 3 ) , maka 2001 2001 ≡ 12 2001 ( mod 13 ) 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar 12 raised to the exponent 2001 end-exponent space open paren mod 13 close paren 2 0 0 1 2 0 0 1 ≡ 1 2 2 0 0 1 ( m o d 1 3 ) . Karena 12 ≡ -1 ( mod 13 ) 12 triple bar negative 1 space open paren mod 13 close paren 1 2 ≡ − 1 ( m o d 1 3 ) , maka 12 2001 ≡ ( -1 ) 2001 ( mod 13 ) 12 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar open paren negative 1 close paren raised to the exponent 2001 end-exponent space open paren mod 13 close paren 1 2 2 0 0 1 ≡ ( − 1 ) 2 0 0 1 ( m o d 1 3 ) . Karena 2001 2001 2 0 0 1 adalah bilangan ganjil, maka ( -1 ) 2001 = -1 open paren negative 1 close paren raised to the exponent 2001 end-exponent equals negative 1 ( − 1 ) 2 0 0 1 = − 1 . Jadi, 2001 2001 ≡ -1 ( mod 13 ) 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar negative 1 space open paren mod 13 close paren 2 0 0 1 2 0 0 1 ≡ − 1 ( m o d 1 3 ) . Langkah 6: Menjumlahkan Semua Suku Jumlah dari semua pasangan adalah kelipatan 2001 2001 2 0 0 1 , yang tidak secara langsung menunjukkan kelipatan 13 13 1 3 . Namun, dengan menggunakan Teorema Fermat Kecil, a 2001 ≡ a 13 × 153 + 12 ≡ ( a 13 ) 153 × a 12 ≡ a 153 × a 12 ≡ a 165 ( mod 13 ) a raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar a raised to the exponent 13 cross 153 plus 12 end-exponent triple bar open paren a raised to the exponent 13 end-exponent close paren raised to the exponent 153 end-exponent cross a raised to the exponent 12 end-exponent triple bar a raised to the exponent 153 end-exponent cross a raised to the exponent 12 end-exponent triple bar a raised to the exponent 165 end-exponent space open paren mod 13 close paren a 2 0 0 1 ≡ a 1 3 × 1 5 3 + 1 2 ≡ ( a 1 3 ) 1 5 3 × a 1 2 ≡ a 1 5 3 × a 1 2 ≡ a 1 6 5 ( m o d 1 3 ) . Ini tidak menyederhanakan masalah. Pendekatan yang lebih baik adalah dengan mengelompokkan suku-suku. S = ( 1 2001 + 12 2001 ) + ( 2 2001 + 11 2001 ) + … + ( 6 2001 + 7 2001 ) + … cap S equals open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus open paren 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 11 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus … plus open paren 6 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 7 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus … S = ( 1 2 0 0 1 + 1 2 2 0 0 1 ) + ( 2 2 0 0 1 + 1 1 2 0 0 1 ) + … + ( 6 2 0 0 1 + 7 2 0 0 1 ) + … Karena a 2001 + b 2001 a raised to the exponent 2001 end-exponent plus b raised to the exponent 2001 end-exponent a 2 0 0 1 + b 2 0 0 1 habis dibagi oleh a + b a plus b a + b jika 2001 2001 2 0 0 1 ganjil, maka: 1 2001 + 12 2001 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent 1 2 0 0 1 + 1 2 2 0 0 1 habis dibagi 1 + 12 = 13 1 plus 12 equals 13 1 + 1 2 = 1 3 . 2 2001 + 11 2001 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 11 raised to the exponent 2001 end-exponent 2 2 0 0 1 + 1 1 2 0 0 1 habis dibagi 2 + 11 = 13 2 plus 11 equals 13 2 + 1 1 = 1 3 . … 6 2001 + 7 2001 6 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 7 raised to the exponent 2001 end-exponent 6 2 0 0 1 + 7 2 0 0 1 habis dibagi 6 + 7 = 13 6 plus 7 equals 13 6 + 7 = 1 3 . Suku-suku yang tersisa adalah 13 2001 13 raised to the exponent 2001 end-exponent 1 3 2 0 0 1 , 14 2001 14 raised to the exponent 2001 end-exponent 1 4 2 0 0 1 , …, 2001 2001 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent 2 0 0 1 2 0 0 1 . 13 2001 13 raised to the exponent 2001 end-exponent 1 3 2 0 0 1 adalah kelipatan 13 13 1 3 . 14 2001 ≡ 1 2001 ( mod 13 ) 14 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar 1 raised to the exponent 2001 end-exponent space open paren mod 13 close paren 1 4 2 0 0 1 ≡ 1 2 0 0 1 ( m o d 1 3 ) . 15 2001 ≡ 2 2001 ( mod 13 ) 15 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar 2 raised to the exponent 2001 end-exponent space open paren mod 13 close paren 1 5 2 0 0 1 ≡ 2 2 0 0 1 ( m o d 1 3 ) . … 2001 = 153 × 13 + 12 2001 equals 153 cross 13 plus 12 2 0 0 1 = 1 5 3 × 1 3 + 1 2 . Jadi, 2001 ≡ 12 ( mod 13 ) 2001 triple bar 12 space open paren mod 13 close paren 2 0 0 1 ≡ 1 2 ( m o d 1 3 ) . S ≡ ( 1 2001 + 2 2001 + … + 12 2001 ) + ( 1 2001 + 2 2001 + … + 12 2001 ) + … + ( 1 2001 + 2 2001 + … + 12 2001 ) + ( 1 2001 + 2 2001 + … + 12 2001 ) ( mod 13 ) cap S triple bar open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus … plus open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren space open paren mod 13 close paren S ≡ ( 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ) + ( 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ) + … + ( 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ) + ( 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ) ( m o d 1 3 ) . Ada 153 153 1 5 3 kelompok dari ( 1 2001 + … + 12 2001 ) open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren ( 1 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ) dan satu kelompok sisa. 1 2001 + 2 2001 + … + 12 2001 ≡ ( 1 2001 + 12 2001 ) + ( 2 2001 + 11 2001 ) + … + ( 6 2001 + 7 2001 ) ( mod 13 ) 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent triple bar open paren 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 12 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus open paren 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 11 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren plus … plus open paren 6 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 7 raised to the exponent 2001 end-exponent close paren space open paren mod 13 close paren 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + … + 1 2 2 0 0 1 ≡ ( 1 2 0 0 1 + 1 2 2 0 0 1 ) + ( 2 2 0 0 1 + 1 1 2 0 0 1 ) + … + ( 6 2 0 0 1 + 7 2 0 0 1 ) ( m o d 1 3 ) . Setiap pasangan habis dibagi 13 13 1 3 , jadi jumlahnya ≡ 0 ( mod 13 ) triple bar 0 space open paren mod 13 close paren ≡ 0 ( m o d 1 3 ) . Jadi, S ≡ 153 × 0 + 0 ( mod 13 ) cap S triple bar 153 cross 0 plus 0 space open paren mod 13 close paren S ≡ 1 5 3 × 0 + 0 ( m o d 1 3 ) . S ≡ 0 ( mod 13 ) cap S triple bar 0 space open paren mod 13 close paren S ≡ 0 ( m o d 1 3 ) . Jawaban Akhir 1 2001 + 2 2001 + 3 2001 + … + 2001 2001 1 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 2 raised to the exponent 2001 end-exponent plus 3 raised to the exponent 2001 end-exponent plus … plus 2001 raised to the exponent 2001 end-exponent 1 2 0 0 1 + 2 2 0 0 1 + 3 2 0 0 1 + … + 2 0 0 1 2 0 0 1 adalah kelipatan 13 13 1 3 . Link Terkait Pengertian Bilangan Prima Beserta Himpunannya – Sampoerna Academy 2 Mar 2022 — Himpunan bilangan prima merupakan himpunan yang anggotanya tidak negatif dan dimulai dari angka 0 lalu dilanjutkan denga… Sampoerna Academy Kelipatan Persekutuan dari 6 dan 8 Adalah 24, Ini Penjelasannya 2 Sep 2024 — Kelipatan dari 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, … Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA (Uhamka) Kelipatan 3 – BYJU’S Terjemahan — 10 kelipatan 3 pertama adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 dan 30. byjus.com Tampilkan semua Link Terkait